如何把背包问题转化成动态规划

绪言

每当有人看到这样的题目：

有n 种物品（各有一件/都有无限件/有有限件），它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

那个人可能会喊道：

我的妈呀。。。又是背包【哭】

今天我一定要搞懂背包！

这个人，是你，也（就）是我。（dalao们好！）

01背包

这是最基础的背包问题

我们不妨从输入讲起

input

可以用结构体struct

struct str{    int w;    int v;} object[n];

也可以用数组

int v[n],w[n];

为表达方便，以下代码使用数组

solution

这里用一种我从未见过的表达方式：

　　用dp[i][j]表示以j为剩余容量，选择性的放入前i个物品的最大价值。

初始化：

　　dp[0][j]=dp[i][0]=0;

进入下一步的选择：

　　对于每一个物品，你有两个选择：

　　　　容量不足，装不下它：

　　　　　　此时的价值==前i-1个物品时的价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j]

　　　　容量足以装下它，but不一定能达到当前最优价：

　　　　　　在选与不选中选择一个最优的，即dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]};

　　　　　　其中dp[i-1][j]为不装情况，dp[i-1][j-w[i]]+v[i]为装的情况

这就是递推式了

dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]};

Code